Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）当x∈（0，e]时，证明：e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．
（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e²能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e²x-lnx结合（2）中知F（x）的最小值为3，再令?(x)=

lnx

x

+

5

2

并求导，再由导函数在0＜x≤e大于等于0可判断出函数?（x）在（0，e]上单调递增，从而可求得最大值也为3，即有e2x-lnx＞

lnx

x

+

5

2

成立，即e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx成立．

解答：解：（1）f′(x)=2x+a-

1

x

=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，
得a≤-

7

2

（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
②当0＜

1

a

＜e时，g（x）在(0，

1

a

)上单调递减，在(

1

a

，e]上单调递增
∴g(x)min=g(

1

a

)=1+lna=3，a=e²，满足条件．
③当

1

a

≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e²x-lnx，由（2）知，F（x）_min=3．
令?(x)=

lnx

x

+

5

2

，?′(x)=

1-lnx

x2

，
当0＜x≤e时，?'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增
∴?(x)max=?(e)=

1

e

+

5

2

＜

1

2

+

5

2

=3
∴e2x-lnx＞

lnx

x

+

5

2

，即e2x2-

5

2

x＞（x+1）lnx．

点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．