Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，S_n=na_n-n（n-1），n∈N^*，令，且数列{b_n}的前项和为T_n．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出a_n关于n的表达式；
（2）若不等式（λ为常数）对任意正整数n均成立，求λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由S_n=na_n-n（n-1），n∈N*①
则当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）②
①-②，得a_n=[na_n-n（n-1）]-[（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）]
整理得，a_n-a_n-1=2（n≥2）…（3分）
所以，{a_n}为等差数列，且公差为2，a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）
∴=
若不等式对任意正整数n均成立，则对任意正整数n均成立，
∵，当且仅当n=2∈N*时取“=”，
∴的最大值为5∴λ＜5；
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列
则（T_m）²=T₁•T_n，即
所以，
从而，
所以，2m²-4m-1＜0，即
因为，m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时，n=12
故，当且仅当m=2，n=12时，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．
分析：（1）根据Sn与an的固有关系an=，得出a_n-a_n-1=2，数列{a_n}为等差数列，并写出a_n关于n的表达式；
（2），裂项后求出Tn，再用分离参数法得出，λ小于的最小值即可．
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，列出关于m，n的方程，研究它的解情况．
点评：本题主要考查了等差关系的确定、等差数列的通项公式、数列裂项求和，数列的函数性质、基本不等式应用．考查了学生计算，综合分析问题，解决问题的能力．