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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)
的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c)

(1)求椭圆的离心率e的取值范围;
(2)设椭圆的短半轴长为1,圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,若OA⊥OB,求直线l被圆F2截得的弦长的最大值.
(1)依题意设切线长|PT|=
|PF2|2-(b-c)2

∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,而|PF2|min=a-c,
(a-c)2-(b-c)2
3
2
(a-c)
,∴0<
b-c
a-c
1
2
,从而解得
3
5
≤e<
2
2

故离心率e的取值范围是
3
5
≤e<
2
2

(2)依题意Q点的坐标为(1,0),则直线的方程为y=k(x-1),
联立方程组
y=k(x-1)
x2
a2
+y2=1
,得(a2k2+1)x2-2a2k2x+a2k2-a2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=
2a2k2
a2k2+1
x1x2=
a2k2-a2
a2k2+1

代入直线方程得y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=
k2(1-a2)
a2k2+1
x1x2+y1y2=
k2-a2
a2k2+1

又OA⊥OB,∴
OA
OB
=0
,∴x1x2+y1y2=0,∴k2=a2,∴k=a,直线的方程为ax-y-a=0,
圆心F2(c,0)到直线l的距离d=
|ac-a|
a2+1

由图象可知s=
2d
a
=
2|c-1|
a2+1
=2
c2-2c+1
a2+1
=2
c2-2c+1
c2+2
=2
1-
4
2c+1+
9
2c+1
-2

3
5
≤e<
2
2
,∴
3
4
≤c<1,
5
2
≤2c+1<3

s∈(0,
2
41
41
]

所以smax=
2
41
41
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一个顶点A的坐标是(0,-1),且右焦点Q到直线x-y+2
2
=0的距离为3.
(1)求椭圆方程;
(2)试问是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使l与椭圆M有两个不同的交点B、C,且|AB|=|AC|?若存在,求出k的范围,若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0),焦点F为(0,1),点P(x1,y1)是抛物线上的任意一点,过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A(s,t).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范围.
(3)过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x2,y2)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设点F(0,
3
2
)
,动圆P经过点F且和直线y=-
3
2
相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求曲线W的方程;
(Ⅱ)过点F作互相垂直的直线l1,l2,分别交曲线W于A,B和C,D.求四边形ACBD面积的最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

若椭圆E1
x2
a21
+
y2
b21
=1
和椭圆E2
x2
a22
+
y2
b22
=1
满足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m>0)
,则称这两个椭圆相似,m是相似比.
(Ⅰ)求过(2,
6
)
且与椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
相似的椭圆的方程;
(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B两点(点A在线段OB上).
①若P是线段AB上的一点,若|OA|,|OP|,|OB|成等比数列,求P点的轨迹方程;
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的长轴长为4,若点P是椭圆C上任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点,记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN,当KPMKPN=-
1
4
时,则椭圆方程为(  )
A.
x2
16
+
y2
4
=1
B.
x2
4
+
y2
2
=1
C.x2+
y2
4
=1
D.
x2
4
+y2=1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

【理科】抛物线顶点在原点,焦点是圆x2+y2-4x=0的圆心.
(1)求抛物线的方程;
(2)直线l的斜率为2,且过抛物线的焦点,与抛物线交于A、B两点,求弦AB的长;
(3)过点P(1,1)引抛物线的一条弦,使它被点P平分,求这条弦所在的直线方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过点P(-3,0)且倾斜角为30°直线和曲线
x=t+
1
t
y=t-
1
t
(t为参数)相交于A、B两点.则线段AB的长为(  )
A.
4
3
51
B.
17
C.
51
D.2
17

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为
π
3
的直线与抛物线交于点A、B,则|AB|=______.

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