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【理科】抛物线顶点在原点,焦点是圆x2+y2-4x=0的圆心.
(1)求抛物线的方程;
(2)直线l的斜率为2,且过抛物线的焦点,与抛物线交于A、B两点,求弦AB的长;
(3)过点P(1,1)引抛物线的一条弦,使它被点P平分,求这条弦所在的直线方程.
(1)圆的方程可化为:(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),
∴抛物线方程为y2=8x,…(4分)
(2)直线l方程为y=2(x-2),
y2=8x
y=2(x-2)
得:x2-6x+4=0,
∴x1+x2=6,x1x2=4,
|AB|=
(1+22)(x1-x2)2
=
5[(x1+x2)2-4x1x2]
=10
,…(8分)
(3)当抛物线过点P(1,1)的弦l⊥x轴时,其方程为x=1,不能被点P平分;
当l不垂直于x轴时,设l的方程为y-1=k(x-1)(k≠0),
y-1=k(x-1)
y2=8x
得:ky2-8y+8(1-k)=0,(10分)
y1+y2=
8
k
y1y2=
8(1-k)
k

由题意,
y1+y2
2
=1
,即
4
k
=1⇒k=4

∴所求直线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.…(12分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
,过程P(1,1)作直线l,与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在直线y=x-2上是否存在点P,使得经过点P能作出抛物线y=
1
2
x2
的两条互相垂直的切线?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)
的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c)

(1)求椭圆的离心率e的取值范围;
(2)设椭圆的短半轴长为1,圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,若OA⊥OB,求直线l被圆F2截得的弦长的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(A题)如图,在椭圆
x2
a2
+
y2
8
=1(a>0)中,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,B,D分别为椭圆的左右顶点,A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点,直线AF1交y轴于点E,且点F1,F2三等分线段BD.
(1)若四边形EBCF2为平行四边形,求点C的坐标;
(2)设m=
S△AF1O
S△AEO
,n=
S△CF1O
S△CEO
,求m+n的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M是椭圆短轴的一个端点,过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,△MF1F2的面积为4,△ABF2的周长为8
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点Q的坐标为(1,0),是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆,使得该圆与直线PF1,PF2都相切,如存在,求出P点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

双曲线
x2
v
-
y2
图6
=图
的右焦点是抛物线的焦点,则抛物线的标准方程是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2
2
,过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于M,N两点,直线AO平分线段MN,求△OMN的面积的最大值及此时直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的四个顶点为A1,A2,B1,B2,两焦点为F1,F2,若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B1A2B2,切点分别为A,B,C,D,则菱形A1B1A2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=(  )
A.
5
+1
2
B.2
5
-2
C.
5
+2
2
D.
5
-1
2

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