Question

13．已知函数f（x）=2${\;}^{{x^2}-2x-3}}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=x²-2x-3，f（x）=g（t）=2^t （t≥-4），利用二次函数的性质求得t的定义域与值域，可得函数f（x）的定义域和值域．
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间，即函数t的单调区间，再利用二次函数的性质得出结论．

解答 解：（Ⅰ）对于函数f（x）=2${\;}^{{x^2}-2x-3}}$，
令t=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，可得f（x）=g（t）=2^t （t≥-4）．
由于t的定义域为R，故故函数的定义域为R．
∵t≥-4，故f（x）≥2^-4=$\frac{1}{16}$，故f（x）的值域为[$\frac{1}{16}$，+∞）．
（Ⅱ）根据f（x）=g（t）=2^t，函数f（x）的单调区间，即函数t的单调区间．
由于函数t=（x-1）²-4的减区间为（-∞，1]，增区间为：[1，+∞），
故函数f（x）的单调递减区间：（-∞，1]，单调递增区间：[1，+∞）．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题．