Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为e=2，右焦点F到其渐进线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线y²=2px的焦点与双曲线的右焦点F重合．过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线x=-1上，则△ABC的边长是（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 易求抛物线的方程为y²=4x．如图，设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA₁、BB₁、MN垂直于直线x=-1于A₁、B₁、N，设∠AFx=θ，根据抛物线的定义和三角函数的正弦、余弦定义得到sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
再结合抛物线的定义求得|AF|=$\frac{2}{1-cosθ}$，|BF|=$\frac{2}{1+cosθ}$，则易求|AB|的值．

解答 解：依题知，双曲线的右焦点也即抛物线的焦点为F（1，0），所以抛物线的方程为y²=4x，
设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA₁、BB₁、MN垂直于直线x=-1于A₁、B₁、N，设∠AFx=θ，
由抛物线定义知：
|MN|=$\frac{1}{2}$（|AA₁|+|BB₁|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
∵|MC|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，
∴|MN|=$\frac{1}{\sqrt{3}}$|MC|，
∵∠CMN=90°-θ，
∴cos∠CMN=cos（90°-θ）=$\frac{|MN|}{|MC|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
又由抛物线的极坐标方程，知|AF|=$\frac{2}{1-cosθ}$，|BF|=$\frac{2}{1+cosθ}$，
∴|AB|=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=12．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的简单性质．解答该题时需要数量掌握双曲线的焦点的求法，抛物线的定义，综合性比较强，难度较大．