Question

16．已知二次函数f（x）=x²-2x+ab（a≠b）有唯一的零点，则代数式|$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a-b}$|的最小值是（　　）

• A． 8$\sqrt{2}$
• B． 6
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 由二次函数f（x）有唯一零点，便有△=0，这样便得到ab=1，从而2ab=2，从而有$|\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a-b}|=|a-b+\frac{4}{a-b}|$，根据基本不等式即可求出原代数式的最小值．

解答 解：二次函数f（x）有唯一零点；
∴△=4-4ab=0；
∴ab=1；
∴$|\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a-b}|=|\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}+4}{a-b}|$=$|（a-b）+\frac{4}{a-b}|=|a-b|+\frac{4}{|a-b|}≥4$；
∴原代数式的最小值是4．
故选：D．

点评 考查函数零点的概念，二次函数有一个零点时的判别式△的取值情况，分离常数法的运用，基本不等式用于求最小值．