Question

13．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=6，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=8，则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$-\frac{\sqrt{10}}{8}$．

Answer 1

分析 由已知首先求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的数量积以及差的模，然后利用数量积公式求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

解答 解：由已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=6，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=8，
得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=6，
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=2$\sqrt{10}$，
所以则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为：
$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}}{8×2\sqrt{10}}$=$\frac{-20}{16\sqrt{10}}$=$-\frac{\sqrt{10}}{8}$；
故答案为：$-\frac{{\sqrt{10}}}{8}$．

点评 本题考查了平面向量的模的运算、数量积公式的运用；关键是求出两个向量的数量积以及差的模．