Question

3．若a、b分别是方程x+lgx=4，x+10^x=4的解，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a+b}{x}+2，x＜0}\\{2，x＞0}\end{array}}\right.$．则关于x的方程f（x）=2x-1的解的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意可得a=10^4-a，4-b=10^b，再作出函数y=4-x与y=10^x的图象，从而可得a+b=4；从而解得．

解答 解：∵a、b分别是方程x+lgx=4，x+10^x=4的解，
∴a+lga=4，b+10^b=4，
∴a=10^4-a，4-b=10^b，
作函数y=4-x与y=10^x的图象如下，

结合图象可知，有且仅有一个交点，
故a=4-b，
即a+b=4；
①当x＜0时，方程f（x）=2x-1可化为$\frac{4}{x}$+2=2x-1，
解得，x=$\frac{3-\sqrt{41}}{4}$；
②当x＞0时，方程f（x）=2x-1可化为2=2x-1，
解得，x=$\frac{3}{2}$；
故关于x的方程f（x）=2x-1的解的个数是2，
故选B．

点评 本题考查了对数函数与指数函数的互化与应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．