Question

18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示．
（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值．
（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）由等差数列性质和频率分布直方图得$\left\{\begin{array}{l}{（0.015+a+b+0.015+0.010）×10=1}\\{2b=a+0.015}\end{array}\right.$，由此能求出a，b．
（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，则X的所有可能取值为：150，200，250，300．分别求出相应的概率，由此能求出此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望

解答 解：（1）∵[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
∴由频率分布直方图得$\left\{\begin{array}{l}{（0.015+a+b+0.015+0.010）×10=1}\\{2b=a+0.015}\end{array}\right.$，
解得a=0.035，b=0.025．（4分）
（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，
其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．（6分）
从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，
则X的所有可能取值为：150，200，250，300．
P（X=150）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{6}$，
P（X=200）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{2}$，
P（X=250）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{3}{10}$，
P（X=300）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{30}$，
∴X的分布列为：

X	150	200	250	300
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

（10分）
EX=150×$\frac{1}{6}$+200×$\frac{1}{2}$+250×$\frac{3}{10}$+300×$\frac{1}{30}$=210．（12分）

点评 本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法．本题主要考查数据处理能力．