Question

6．若抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且它们的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}+1$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$

Answer 1

分析 先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把$\frac{p}{2}$=c代入整理得c⁴-6a²c²+a⁴=0等式两边同除以a⁴，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．

解答 解：∵两条曲线交点的连线过点F，
∴两条曲线交点为（$\frac{p}{2}$，p），
代入双曲线方程得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
又$\frac{p}{2}$=c
代入化简得 c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²
∴e=$\sqrt{2}$+1
故选：A．

点评 本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c²=a²+b²注意与椭圆的区别．