Question

【题目】已知，

（1）对，有恒成立，求的最大整数解；

（2）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）3 （2）见解析

【解析】

（1）由等到价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得的单调性，以及最小值，即可得到所求的最大整数值；

（2）求得的导数的单调性，由极小值小于0，可得，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证.

（1）解：等价于，

令，则，

令，则，

所以在上为递增函数，

因为，

所以存在，使得，即，

所以在上递减，在上递增，

所以，

所以的最大整数为3；

（2）证明：，则，

当时，，所以的上单调递增，

此时不可能有两个零点，

所以，

所以

解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，上单调递增，

而要使有两个零点，要满足，

即，可得，

因为，，令，

由，得

所以，

而

即

由，只需证，

令，则，

令，则，

所以在上递增，；

所以在上递增，，

所以