Question

12．在数列{a_n}中，a₁=1，a₄=7，a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^﹢）
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{n（3+{a}_{n}）}$）（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^﹢）可知数列{a_n}为等差数列，进而可得结论；
（2）通过a_n=2n-1，裂项可得b_n=$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即可．

解答 解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^﹢），
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^﹢），
即数列{a_n}为等差数列，
∵a₁=1，a₄=7，
∴公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{3}$=$\frac{7-1}{3}$=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=$\frac{1}{n（3+{a}_{n}）}$=$\frac{1}{n（3+2n-1）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{n+1}$）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．