Question

16．已知偶函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且当x＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{|x-1|}，0＜x≤2}\\{f（x-2），x＞2}\end{array}\right.$，则函数g（x）=f（x）-log₂（|x|+1）（x∈[-6，6]）的零点个数为（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 利用函数图象平移作出f（x）在和y=log₂（|x|+1）在（0，6]上的函数图象，判断交点个数，根据图象对称得出零点个数．

解答 解：∵当x＞2时，f（x）=f（x-2），∴f（x）在（0，+∞）上是周期函数，
令h（x）=log₂（|x|+1），作出f（x），h（x）在（0，6]上的函数图象如图所示：

∵h（1）=f（1），h（3）=log₂4=2，h（5）=log₂6＞1，h（6）=log₂7＜4，
∴f（x）与h（x）在（0，6]上有5个交点，
又f（x）是偶函数，h（x）是偶函数，∴f（x）与h（x）在[-6，0）上有5个交点，
∴f（x）与h（x）在[-6，6]上有10个交点，即g（x）=f（x）-h（x）有10个零点．
故选：B．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数图象的变换，属于中档题．