Question

11．已知函数f（x）=ln（x+1），$g（x）=a+bx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{3}{x^3}$，函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点（0，0）处有公共切线．
（1）求a，b的值；       
（2）证明：f（x）≤g（x）

Answer 1

分析 （1）（0，0）代入g（x）的解析式，可得a=0；求得f（x）的导数，可得切线的斜率，再求g（x）的导数，可得切线的斜率，进而得到b的值；
（2）设出h（x）=f（x）-g（x），求得h（x）的导数，单调区间，可得最值，进而得证．

解答 （1）解：由题意得，点（0，0）在$g（x）=a+bx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{3}{x^3}$的图象上，
将点（0，0）代入g（x）的解析式，解得a=0．
f（x）=ln（x+1）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
∴函数函数f（x）=ln（x+1）在点（0，0）处的切线斜率为f′（0）=1．
又g（x）的导数为g′（x）=x²-x+b，
$g（x）=a+bx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{3}{x^3}$在点（0，0）处的切线斜率也为1，
∴g′（0）=1，解得b=1．
综上，a=0，b=1．
（2）证明：令$h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-x（x＞-1）$，
则h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-x²+x-1=-$\frac{{x}^{3}}{x+1}$．
由h′（x）＞0⇒-1＜x＜0．
∴h（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数．
∴h_max（x）=h（0）=0⇒h（x）≤h（0）=0，
即f（x）≤g（x）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用转化思想和函数的导数，求得最值是解题的关键，属于中档题．