Question

13．已知关于x的不等式ax²-3x+2＞0，a为实数．
（1）若不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；
（2）求不等式ax²-3x+2＞5-ax的解．

Answer 1

分析 （1）由不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，可得a＞0，1，b是一元二次方程ax²-3x+2＞0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．
（2）不等式ax²-3x+2＞5-ax化为ax²+（a-3）x-3＞0，即（ax-3）（x+1）＞0．对a分类讨论：当a=0时；当a＞0或a＜-3时；当-3＜a＜0时，解出即可．

解答 解：（1）∵不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴a＞0，1，b是一元二次方程ax²-3x+2＞0的两个实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b=\frac{3}{a}}\\{1×b=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，a＞0，解得a=1，b=2．
∴a=1，b=2．
（2）不等式ax²-3x+2＞5-ax化为ax²+（a-3）x-3＞0，即（ax-3）（x+1）＞0．
当a=0时，化为x+1＜0，解得x＜-1，其解集为{x|x＜-1}；
当a＞0或a＜-3时，$\frac{3}{a}＞$-1，解得x＜-1或x$＞\frac{3}{a}$，其解集为{x|x＜-1或x$＞\frac{3}{a}$}；
当-3＜a＜0时，$\frac{3}{a}$＜-1，解得x＞-1或x$＜\frac{3}{a}$，其解集为{x|x＞-1或x$＜\frac{3}{a}$}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．