Question

在数列中，对于任意，等式：恒成立，其中常数．
（1）求的值；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）如果关于的不等式的解集为，试求实数的取值范围．

Answer 1

（1），；（2）只需求出即可；（3）。

解析试题分析：（Ⅰ）　因为，
所以，，
解得 ，．                3分
（Ⅱ）当时，由，   ①
得，           ②
将①，②两式相减，得,
化简，得，其中．         5分
因为，
所以，其中．           6分
因为 为常数，
所以数列为等比数列．            8分
（Ⅲ）　　由（Ⅱ）得，                 9分
所以
，
又因为，所以不等式
可化简为，
∵，∴原不等式               11分
由题意知，不等式的解集为，
因为函数在上单调递增，
所以只要求 且即可，
解得．                 14分
考点：等比数列的性质；数列通项公式的求法；数列求和；数列的综合应用；恒成立问题；指数函数的单调性。
点评：（1）解此题的关键是通过证明数列是等比数列，从而求出数列的通项公式。（2）解决恒成立问题常用的方法是分离参数法。