Question

【题目】已知, .

(1)当时， 为增函数，求实数的取值范围；

(2)设函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）作差，求导，利用导函数非负恒成立转化为不等式恒成立问题，再分离参数，将问题转化为利用导数研究函数的最值问题；（2）作差构造函数，求导，利用导函数的符号变换确定导数的单调性和最值.

试题解析：（1）∵，∴.

∵时为增函数，∴对恒成立，即.

令, ,则，令解得.

∴在单减； 单增，∵，

，∴.

（2）∵对恒成立，令得，

令，则，

令，则 ，

令，则，

则在单增， 单减； ，故对恒成立.

∴在单减，∵，无论在有无零点，

在上的最小值只可能为或，

要恒成立，∴且 ，∴.

法二： ，即，令， ，

令得，∴在单增； 单减，

又∵有唯一零点，所以可作出函数的示意图，

要满足对恒成立，只需解得.