Question

9．已知直线$x=\frac{π}{3}$是函数f（x）=msin2x-cos2x的图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，且$b=\sqrt{3}$，求$a-\frac{c}{2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$x=\frac{π}{3}$是函数f（x）的一条对称轴求出m的值，写出f（x）的解析式，再求f（x）的单调增区间；
（2）由f（B）=2求出B的值，再由正弦定理a、c的表达式，写出a-$\frac{c}{2}$的表达式，利用三角函数的性质求出它的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）$x=\frac{π}{3}$是函数f（x）=msin2x-cos2x的一条对称轴，
∴f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{{m}^{2}+1}$
或$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\frac{1}{2}$=-$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
解得m=$\sqrt{3}$；…..（3分）
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的增区间是：$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（k∈Z）$；…（6分）
（2）由f（B）=2，得sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，解得B=$\frac{π}{3}$；
又$b=\sqrt{3}$，由正弦定理得：
$a=2sinA，c=2sinC=2sin（A+\frac{π}{3}）$，
∴a-$\frac{c}{2}$=2sinA-sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）；…（8分）
又A∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1），
∴$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），
即a-$\frac{c}{2}$∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．…..（12分）

点评 本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，是综合题．