Question

18．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+3cosα}\\{y=1+3sinα}\end{array}\right.$（α为参数），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．
（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；
（2）求曲线C和直线l的交点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；把直线l的参数方程化为普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=9}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，求出曲线C和直线l的交点的直角坐标，由此能求出曲线C和直线l的交点的极坐标．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+3cosα}\\{y=1+3sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的普通方程为（x-2）²+（y-1）²=9，
即x²+y²-4x-2y=4，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-2ρsinθ=4，
即ρ²-2ρ（2cosθ+sinθ）=4．
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程为x+y=0，
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=0，即ρ（cosθ+sinθ）=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=9}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴曲线C和直线l的交点的直角坐标为（-1，1）或（2，-2），
∴曲线C和直线l的交点的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），（2$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）．

点评 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．