Question

6．动直线l与抛物线C：x²=4y相交于A，B两点，O为坐标原点，若$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AG}$，则${（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）^2}-4{\overrightarrow{OG}^2}$的最大值为（　　）

• A． -16
• B． 8
• C． 16
• D． 24

Answer 1

分析 由题意可知G为AB的中点，于是${（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）^2}-4{\overrightarrow{OG}^2}$=-4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$），得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$关于x₁x₂的函数，从而得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AG}$，∴G是AB的中点，
∴$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$），
∴${（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）^2}-4{\overrightarrow{OG}^2}$=（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$）²-（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）²=-4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$），
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$）²=（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+2）²-4≥-4，
∴-4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤16，即${（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）^2}-4{\overrightarrow{OG}^2}$的最大值为16．
故选C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，抛物线的定义，属于中档题．