Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=BC，E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

证明：（1）取PA的中点G，连接DG，FG，
∵F为PB的中点，
∴FG∥CD且
∵ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB=CD
∵E为CD的中点，
∴四边形EFGD为平行四边形
∴DG∥EF
∵AD=PD，G为PA的中点
∴DG⊥PA
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AB
∵AB⊥AD，PD∩AD=D
∴AB⊥平面PAD
∵DG?平面PAD，
∴AB⊥DG
∵PA∩AB=A
∴DG⊥平面PAB，
∵DG∥EF
∴EF⊥平面PAB
（2）由（1）知，EF=DG=，且EF为以△PAF为底面的三棱锥E-PAF的高
∵PA=，∴
∴
分析：（1）取PA的中点G，连接DG，FG，利用三角形中位线的性质，可得四边形EFGD为平行四边形，所以DG∥EF．要证EF⊥平面PAB，可先证明DG⊥平面PAB，利用PD⊥底面矩形ABCD可证得；
（2）转换底面，即V_P-AEF=V_E-PAF，由（1）知，EF=DG=，PA=，，从而可求
点评：本题以四棱锥为载体，考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥的体积，解题的关键是正确运用线面垂直的性质与判定．