Question

11．已知点P（a，b）在线段AB上运动，其中A（0，1），B（2，0）试求（a-1）²+（b+1）²的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得b=1-$\frac{1}{2}$a，其中0≤a≤2，代入化简可得（a-1）²+（b+1）²=$\frac{5}{4}$a²-4a+5=$\frac{5}{4}$（a-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{9}{5}$，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：∵点P（a，b）在线段AB上运动，A（0，1），B（2，0），
∴直线AB的方程为x+2y-2=0，
∴a+2b-2=0，
∴b=1-$\frac{1}{2}$a，其中0≤a≤2，
∴（a-1）²+（b+1）²=（a-1）²+（1-$\frac{1}{2}$a+1）²
=$\frac{5}{4}$a²-4a+5=$\frac{5}{4}$（a-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{9}{5}$，
由二次函数可知，当a=$\frac{8}{5}$时上式取最小值，最小值为$\frac{9}{5}$
当a=0时，上式取最大值5，
∴（a-1）²+（b+1）²的取值范围为[$\frac{9}{5}$，5]．

点评 本题考查两点间的距离公式，涉及二次函数区间的最值，属基础题．