Question

1．一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号，若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得0分．
（1）求拿4次恰好得2分的概率；
（2）求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得该人每次拿一个球得1分的概率p₁=$\frac{1}{3}$，从而能求出拿4次恰好得2分的概率．
（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）∵一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，
某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号，若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得0分，
∴该人每次拿一个球得1分的概率p₁=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
∴拿4次恰好得2分的概率p=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$．
（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

E（ξ）=$0×\frac{16}{81}+1×\frac{32}{81}+2×\frac{24}{81}+3×\frac{8}{81}+4×\frac{1}{81}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查离散型随机变量的数学期望，是中档题．在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率和排列组合知识的灵活运用．