已知函数y=f=kx+t.记h|．把函数h(x)的最大值L称为函数f(x)的“线性拟合度．=$\frac{2}{x}$.x∈[1.4].g(x)=-x+2.求此时函数f(x)的“线性拟合度 L,.x∈[a.b]的值域为[m.n]=t.求证:L≥$\frac{n-m}{2}$,=2$\sqrt{x}$.x∈[1.4].求k的值.使得函数f(x)的“线性拟合度 L最小.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．已知函数y=f（x），x∈[a，b]，函数g（x）=kx+t，记h（x）=|f（x）-g（x）|．把函数h（x）的最大值L称为函数f（x）的“线性拟合度”．
（1）设函数f（x）=$\frac{2}{x}$，x∈[1，4]，g（x）=-x+2，求此时函数f（x）的“线性拟合度”L；
（2）若函数y=f（x），x∈[a，b]的值域为[m，n]（m＜n），g（x）=t，求证：L≥$\frac{n-m}{2}$；
（3）设f（x）=2$\sqrt{x}$，x∈[1，4]，求k的值，使得函数f（x）的“线性拟合度”L最小，并求出L的最小值．

分析（1）由题意，将f（x）和g（x）带入h（x）求出h（x）的表达式，求出此时h（x）的最大值即可；
（2）由定义写出h（x）的表达式，以及L可能的取值情况，再用绝对值不等式性质即可得到所求；
（3）写出h（x）的函数表达式，讨论k的不同取值情况时函数的单调性，求出其对应的L值．

解答解：由题意，得
（1）$h（x）=|{x+\frac{2}{x}-2}|$，（x∈[1，4]），
$h（x）=x+\frac{2}{x}-2≥2\sqrt{2}-2＞0$，当且仅当x=$\frac{2}{x}$即x=$\sqrt{2}$时取“=”，
所以$h（x）=x+\frac{2}{x}-2$，
又因为h（x）在$x∈[1\;，\;\sqrt{2}]$时单调递减，在$x∈[\sqrt{2}\;，\;4]$时单调递增，
且h（1）=1，$h（4）=\frac{5}{2}$，
所以h（x）≤$\frac{5}{2}$，
所以函数f（x）的“线性拟合度”$L=\frac{5}{2}$；
（2）h（x）=|f（x）-t|，又f（x）∈[m，n]，
所以L≥|m-t|，L≥|n-t|，
所以：2L≥|m-t|+|n-t|≥|（m-t）-（n-t）|=|m-n|=n-m．
所以2L≥n-m，即$L≥\frac{n-m}{2}$；
（3）因为g（x）=kx+t，f（x）=2$\sqrt{x}$，x∈[1，4]，
所以$h（x）=|2\sqrt{x}-kx-t|$，x∈[1，4]，
令$y=2\sqrt{x}-kx$，x∈[1，4]，
Ⅰ：当k≤0时，$y=2\sqrt{x}-kx$在x∈[1，4]时单调递增，
所以y∈[2-k，4-4k]，
由（2）知，$L≥\frac{4-4k-（2-k）}{2}=\frac{2-3k}{2}$≥1，
所以当k=0时，取“=”，L最小为1；
Ⅱ：当k＞0时，$y=-k{（{\sqrt{x}-\frac{1}{k}}）^2}+\frac{1}{k}$，（$\sqrt{x}∈[1\;，\;2]$）
①当$\frac{1}{k}≥2$，即$0＜k≤\frac{1}{2}$时，
$y=2\sqrt{x}-kx$在x∈[1，4]时单调递增，
所以y∈[2-k，4-4k]，
由（2）知，$L≥\frac{4-4k-（2-k）}{2}=\frac{2-3k}{2}$ $≥\frac{1}{4}$，
当且仅当k=$\frac{1}{2}$时，取“=”，L最小为$\frac{1}{4}$；
②当$\frac{3}{2}≤\frac{1}{k}＜2$，即$\frac{1}{2}＜k≤\frac{2}{3}$时，
$y∈[{2-k\;，\;\frac{1}{k}}]$，
由（2）知，$L≥\frac{{k+\frac{1}{k}-2}}{2}≥\frac{1}{12}$，当且仅当$k=\frac{2}{3}$时取等号，L最小为$\frac{1}{12}$；
③当$1≤\frac{1}{k}＜\frac{3}{2}$，即$\frac{2}{3}＜k≤1$时，
$y∈[{4-4k\;，\;\frac{1}{k}}]$，
由（2）知，$L≥\frac{{4k+\frac{1}{k}-4}}{2}＞\frac{1}{12}$；
④当$0＜\frac{1}{k}＜1$，即k＞1时，
$y=2\sqrt{x}-kx$在x∈[1，4]时单调递减，
y∈[4-4k，2-k]，
由（2）知，$L≥\frac{3k-2}{2}＞\frac{1}{2}$．
综上所述，当且仅当$k=\frac{2}{3}$时，${L_{min}}=\frac{1}{12}$．

点评本题属于创新型题型，关键在于对新定义的理解，在此基础上考查了值域的求法，含绝对值不等式，以及含参讨论；本题的难点是与二次函数相关的含参讨论，学生只要做到条理清晰即可解题．

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