Question

6．已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，任意m，n∈（0，+∞）且m≠n时，都有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＞0，f（2）=0，则不等式$\frac{f（x）}{x}$＜0的解集是（　　）

• A． {x|x＜-2或0＜x＜2}
• B． {x|-2＜x＜0或x＞2}
• C． {x|-2＜x＜2}
• D． {x|-2＜x＜0或0＜x＜2}

Answer 1

分析 由y=f（x）是奇函数及在x∈[0，+∞）上的单调性，结合奇函数的图象关于原点对称，可得函数y=f（x）在区间（-∞，0]中的单调性，进而得到不等式$\frac{f（x）}{x}$＜0的解集．

解答 解：∵任意m，n∈（0，+∞）且m≠n时，都有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＞0，
∴函数f（x）是在（0，+∞）上的单调递增函数，
∵由已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，
∴函数f（x）是定义域为R上的单调递增函数．
∵不等式$\frac{f（x）}{x}$＜0等价于①x＞0时，f（x）＜0；②x＜0时，f（x）＞0，
又已知f（2）=0，
∴不等式$\frac{f（x）}{x}$＜0的解集为{x|-2＜x＜0或0＜x＜2}．
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性及单调性，其中根据已知条件结合奇函数的图象关于原点对称，从而判断出函数y=f（x）在区间（-∞，0）中的单调性，是解答本题的关键