Question

16．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-ax（x+2），x＞0}\end{array}\right.$是一个奇函数，则满足f（2-x²）+f（x）＜0的x的取值范围是（-1，2）．

Answer 1

分析 由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得x的不等式，解此二次不等式，求得x的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-ax（x+2），x＞0}\end{array}\right.$是一个奇函数，
设x＜0，则-x＞0，
且f（-x）=-f（x），即-a（-x）（-x+2）=-x（x-2），
化简可得ax（2-x）=x（2-x），∴a=1．
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-x（x+2），x＞0}\end{array}\right.$，故函数f（x）为R上的减函数，它的图象如图．
由f（2-x²）+f（x）＜0，可得2-x²＞-x，即x²-x-2＜0，
求得x∈（-1，2）．
故答案为：（-1，2）．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的奇偶性的性质，函数的单调性的应用，二次不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．