Question

如图，已知椭圆C：的左右焦点分别为F₁、F₂，点B为椭圆与y轴的正半轴的交点，点P在第一象限内且在椭圆上，且PF₂与x轴垂直，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点B关于直线l：y=-x+n的对称点E（异于点B）在椭圆C上，求n的值．

Answer 1

解：（1）根据椭圆方程得到F₁（-，0），P（，m），
把P的坐标代入椭圆方程得：m²=，
则•=2•+m²=2（a²-2）+=5，解得a²=4，
所以椭圆C方程为：，
（2）由（1）求出的椭圆方程得：B（0，）
BE⊥l，得BE方程的斜率为1，则直线BE的方程为，
由得x=0，或x=-．
，∴BE中点为，
把BE的中点坐标代入y=-x+n得：=+n，解得：n=-．
分析：（1）根据椭圆的方程和PF₂与x轴垂直表示出F₁和P的坐标，利用F₁和P的坐标及原点O的坐标分别表示和，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出，让其值等于5，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，代入椭圆方程即可；
（2）根据椭圆方程求出B的坐标，设E和B关于直线l对称，则直线BE的斜率与直线l的斜率乘积为-1，根据直线l的斜率求出直线BE的斜率，根据B的坐标和求出的斜率写出直线BE的方程，把直线BE的方程与椭圆方程联立即可求出直线BE与椭圆的另一交点E的坐标，根据B和E的坐标，利用中点坐标公式求出BE中点的坐标，把中点坐标代入直线l的方程，即可求出n的值．
点评：此题考查学生掌握椭圆的简单性质，会求椭圆的标准方程，厉害运用平面向量的数量积的运算法则及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．