Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
（2）△ABC的内角分别是A，B，C，若f（A）=1，cosB=

4

5

，求sinC的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由图象易知A=1，

1

2

T=

π

2

，可知ω=2，函数图象过（

π

6

，1），|φ|＜

π

2

可求得φ，从而可得函数f（x）的解析式，继而可得f（x）的单调减区间；
（2）由（I）可知，sin（2x+

π

6

）=1，从而可求得A=

π

6

，sinB=

3

5

，于是利用两角和的正弦求得sinC的值．

解答： 解：（1）由图象最高点得A=1，…（1分）
由周期

1

2

T=

2π

3

π

6

=

π

2

，
∴T=π=

2π

ω

，解得ω=2．…（2分）
当x=

π

6

时，f（x）=1，可得sin（2•

π

6

+φ）=1，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）．…（4分）
由图象可得f（x）的单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．…（6分）
（2）由（I）可知，sin（2x+

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

π

2

，A=

π

6

．…（8分）
∵0＜B＜π，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

．…（9分）
∴sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B） …（10分）
=sinAcosB+cosAsinB
=

1

2

×

4

5

+

3

2

×

3

5

=

4+3 3

10

．…（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数中的恒等变换应用，考查运算求解能力，属于中档题．