Question

已知函数f（x）=3sin（ωx-

π

6

）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+ϕ）+

5

2

（0＜ϕ＜π）的图象的对称轴完全相同．
（1）求ω、ϕ的值；
（2）设直线x=t与函数f（x）和g（x）的图象分别交于M、N两点：
①试将线段MN的长度表示为t的函数h（t）；
②当t∈[

π

6

，

5π

6

]时，求函数h（t）的最大值及单调区间．

Answer 1

考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义,三角函数的最值

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据“对称轴相同可得两函数的周期相同”、周期公式求出ω，进而可得φ的值；
（2）①利用直线x=t与函数f（x）和g（x）的图象分别交于M、N两点，可将线段MN的长度表示为t的函数h（t）；
②当t∈[

π

6

，

5π

6

]时，由正弦函数的性质求求函数h（t）的最大值及单调区间．

解答： 解：（1）由题意知：两函数的周期相同，
∴

2π

ω

=

2π

2

，∴ω=2（2分）
∴f(x)=3sin(2x-

π

6

)的图象的对称轴为2x-

π

6

=k1π+

π

2

，
即x=

k1π

2

+

π

3

（k₁∈Z），g（x）的图象的对称轴为2x+φ=k₂π，即x=

k2π

2

-

ϕ

2

（k₂∈Z）
∵对称轴完全相同，∴

ϕ

2

+

π

3

=

mπ

2

m∈Z
∵0＜ϕ＜π∴ϕ=

π

3

（6分）
（2）①|MN|=h(t)=|f(t)-g(t)|=|3sin(2t-

π

6

)-2cos(2t+

π

3

)-

5

2

|=|5sin(2t-

π

6

)-

5

2

|（8分）
②∵t∈[

π

6

，

5π

6

]∴2t-

π

6

∈[

π

6

，

3π

2

]
∴5sin(2t-

π

6

)-

5

2

∈[-

15

2

，

5

2

]
∴t=

5π

6

时，h(t)max=

15

2

（10分）
单调增区间为：[

π

6

，

π

3

]，[

π

2

，

5π

6

]，减区间为：[

π

3

，

π

2

]（14分）

点评：本题考查三角函数的周期性与对称性的关系，以及正弦函数得性质，解题的关键是判断出：对称轴相同可得两函数的周期相同．