Question

16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（-1-x）=f（3+x）．当x∈（0，1]时，f（x）=2x-1．
（1）当x∈[1，2]时，求函数解析式；
（2）求f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（-1-x）=f（3+x），求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，求出函数的周期，
（2）求出函数一个周期内的数值的和，然后求解函数值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∵f（-1-x）=f（3+x）．
∴函数关于x=1对称，
所以函数的周期为4．
可得f（x-1）=f（3-x），可得f（x）=f（2-x），
当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]．
f（x）=2（2-x）-1=3-2x．
（2）f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=-1+1-1+f（-1）=-1-f（1）=-2．
f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=503×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]+f（0）+f（1）
=-1006．

点评 本题综合考查了抽象函数的应用，函数的性质周期性运奇偶性的运用，整体运用的思想，考查了逻辑推理变换的能力，属于中档题．