Question

【题目】函数f（x）的图象如图所示，曲线BCD为抛物线的一部分．

（Ⅰ）求f（x）解析式；

（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；

（Ⅲ）若f（x）＞f（2-x），求x的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) （2）或（3）-1＜x＜1

【解析】试题分析：

(Ⅰ)分段求解可得一次函数的解析式为：y=3x+3，二次函数的解析式为：y=x2-4x+3，即函数的解析式为分段函数： ；

(Ⅱ)结合(1)中函数的解析式分类讨论可得或；

(Ⅲ)由题意结合函数的性质分类讨论可得不等式f（x）＞f（2-x）的解集为-1＜x＜1.

试题解析：

（ I）当-1≤x≤0时，函数图象为直线且过点（-1，0）（0，3），直线斜率为k=3，

所以y=3x+3；

当0＜x≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x-1）（x-3），

当x=0时，y=3a=3，解得a=1，所以y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3，

所以．

（II）当x∈[-1，0]，令3x+3=1，解得；

当x∈（0，3]，令x2-4x+3=1，解得，

因为0＜x≤3，所以，

所以或；

（ III）当x=-1或x=3时，f（x）=f（2-x）=0，

当-1＜x＜0时，2＜2-x＜3，由图象可知f（x）＞0，f（2-x）＜0，

所以f（x）＞f（2-x）恒成立；

当0≤x≤2时，0≤2-x≤2，f（x）在[0，2]上单调递减，

所以当x＜2-x，即x＜1时f（x）＞f（2-x），所以0≤x＜1；

当2＜x＜3时，-1＜2-x＜0，此时f（x）＜0，f（2-x）＞0不合题意；

所以x的取值范围为-1＜x＜1