Question

已知函数f（x）=sin2x-cos2x+1，且x∈[0，2π]．
（1）求f（x）的值域；         
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用辅助角（和差角）公式，将函数的解析式化为正弦型函数，结合x∈[0，2π]分析相位角的范围，进而由正弦函数的图象和性质，得到f（x）的值域；         
（2）若f（x）＞0，则sin(2x-

π

4

)＞-

2

2

，进而得到x∈(kπ，kπ+

3π

4

)，k∈Z，又由x∈[0，2π]，可得不等式的解集．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-cos2x+1=

2

sin(2x-

π

4

)+1，
∵x∈[0，2π]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

15π

4

]，
当2x-

π

4

=

π

2

或

5π

2

时，f（x）取最大值1+

2

；
当2x-

π

4

=

3π

2

或

7π

2

时，f（x）取最小值1-

2

；
故f（x）的值域为[1-

2

，1+

2

]
（2）由f（x）＞0得：

2

sin(2x-

π

4

)＞-1，
即sin(2x-

π

4

)＞-

2

2

∴2x-

π

4

∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z，
∴2x∈(2kπ，2kπ+

3π

2

)，k∈Z，
∴x∈(kπ，kπ+

3π

4

)，k∈Z
又∵x∈[0，2π]，
∴x∈（0，

3π

4

）∪（π，

7π

4

）

点评：本题考查的知识点是函数的值域，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．