Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2）、B（2，3）、C（-2，-1）．
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）求

AB

和

AC

夹角的余弦值；
（3）是否存在实数t满足（

AB

-t

OC

）•

OC

=

OA

•

OC

，若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据题意及向量加法的平行四边形法则知BC是其中一条对角线，另一条对角线的长度是向量

AB

+

AC

的长度，所以根据点的坐标求出向量的坐标，再求出向量的长度即可．
（2）根据向量的坐标及向量夹角的余弦公式求解即可．
（3）假设存在t，带入坐标，进行数量级的坐标运算，求a即可．

解答： 解：（1）由题意得：BC是其中一条对角线，且

BC

=(-4，-4)；
∴|

BC

|=

32

=4

2

；
根据向量加法的平行四边形法则知，另一条对角线长为：|

AB

+

AC

|=|（2，6）|=2

10

．
（2）

AB

=(3，5)，

AC

=(-1，1)，|

AB

|=

34

，|

AC

|=

2

，

AB

•

AC

=2；
设向量

AB

，

AC

的夹角为θ，则：
cosθ=

2

34 • 2

=

17

17

．
（3）假设存在t，则：
[（3，5）-t（-2，-1）]•（-2，-1）=（-1，-2）•（-2，-1）
∴解得t=-3．

点评：考查由点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标求向量的长度，向量加法的平行四边形法则，两向量夹角的余弦公式，向量数量积的坐标运算．