Question

已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C1经过点P(2,2),以C1上一点C2为圆心的圆过定点A(0,1),记为圆与轴的两个交点.

(1)求抛物线的方程;

(2)当圆心在抛物线上运动时,试判断是否为一定值？请证明你的结论;

(3)当圆心在抛物线上运动时,记,,求的最大值．

 

Answer 1

(1）x2=2y ；(2)定值2；(3）

【解析】

试题分析：(1)由焦点在y轴,顶点在原点的抛物线假设为，又C1经过点P(2,2)，即可求出抛物线的.即可得抛物线的方程.

(2）当圆心在抛物线上运动时，写出圆的方程，再令y=0即可求得圆的方程与x轴的两交点的坐标，计算两坐标的差即可得到结论.

(3）当圆心在抛物线上运动时，由(1)可得M,N的坐标（其中用圆心的坐标表示）.根据两点的距离公式即可用圆心的坐标表示m,n的值，将适当变形，再根据基本不等式即可求得的最大值.

(1)由已知,设抛物线方程为x2=2py,22=2p×2,解得p=1.

所求抛物线C1的方程为x2=2y.-------3分

(2)法1：设圆心C2(a,a2/2),则圆C2的半径r=

圆C2的方程为.

令y=0,得x2－2ax+a2－1=0,得x1=a－1,x2=a+1.

|MN|=|x1－x2|=2(定值).------7分

法2：设圆心C2(a,b),因为圆过A(0,1),所以半径r=,

,因为C2在抛物线上,a2=2b,且圆被x轴截得的弦长

|MN|=(定值)---7分

(3)由(2)知,不妨设M(a-1,0),N(a+1,0),

考点：1.抛物线的性质.2.最值问题.3.基本不等式的应用.