【题目】已知函数
(1)若直线与曲线都只有两个交点,证明:这四个交点可以构成一个平行四边形,并计算该平行四边形的面积;
(2)设函数在[1,2]上的值域为,求的最小值.
【答案】(1)12.(2)
【解析】试题分析:(1)先求出函数的极值,再根据直线与曲线都只有两个交点得和的值,然后求出四个交点的坐标,即可证明这四个交点可以构成一个平行四边形及计算出该平行四边形的面积;(2)化简,然后求导,求出的极值,对进行分类讨论,求出单调性及最值,表示出,根据的取值,即可求出的单调性及最小值.
试题解析:(1)证明:令得
令得;令
∴的极大值为,极小值为.
∵,令或3;
令
∴这四个交点分别为(0,0),(3,0),(-1,-4),(2,-4)
∵3-0=2-(-1)=3
∴这四个交点可以构成一个平行四边形,且其面积为
(2)解:因为
所以
令,得或,
①当时,
当时, ,所以在上单调递减;
当时, ,所以在上单调递增.
又因为,所以
所以
因为
所以在上单调递减,所以当时, 的最小值为
②当时,
当时, ,所以在上单调递减;
当时, ,所以在上单调递增.
又因为,所以
所以
因为
所以在上单调递增,所以当时,
③当时,
当时, ,所以在上单调递减;
所以
所以
因为
所以在上的最小值为
综上, 的最小值为
点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,对数函数的性质及分类讨论思想,利用导数研究函数的单调性时要注意先求函数的定义域,若所求的导数含有参数,在进行讨论时要做到分类标准统一,对参数的讨论要不重不漏.
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【题目】近年空气质量逐步雾霾天气现象增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸,呼吸困难等心肺疾病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;
(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病,现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为,求的分布列、数学期望及方差,下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式,其中.)
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【题目】已知圆M:x2+(y﹣2)2=r2(r>0)与曲线C:(y﹣2)(3x﹣4y+3)=0有三个不同的交点.
(1)求圆M的方程;
(2)已知点Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点. ①若 ,求|MQ|及直线MQ的方程;
②求证:直线AB恒过定点.
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【题目】已知抛物线,直线过抛物线焦点,且与抛物线交于, 两点,以线段为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
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【题目】已知以点 (,且)为圆心的圆与轴交于点, ,与轴交于点, ,其中为坐标原点.
(1)求证: 的面积为定值;
(2)设直线与圆交于点, ,若,求圆的方程.
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【题目】已知椭圆的右焦点F(m,0),左、右准线分别为l1:x=﹣m﹣1,l2:x=m+1,且l1 , l2分别与直线y=x相交于A,B两点.
(1)若离心率为 ,求椭圆的方程;
(2)当 <7时,求椭圆离心率的取值范围.
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【题目】“石头、剪刀、布”,又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A. B. C. D.
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