Question

8．若定义域在[0，1]的函数f（x）满足：
①对于任意x₁，x₂∈[0，1]，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≥f（x₂）；
②f（0）=0；
③$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}$f（x）；
④f（1-x）+f（x）=-1，
则f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{9}{2017}$）等于（　　）

• A． -$\frac{9}{16}$
• B． -$\frac{17}{32}$
• C． -$\frac{174}{343}$
• D． -$\frac{512}{1007}$

Answer 1

分析 根据已知中定义域在[0，1]的函数f（x）满足的四个条件，可得f（$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，即在[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）=-$\frac{1}{2}$恒成立，进而得到答案．

解答 解：∵定义域在[0，1]的函数f（x）满足：
①对于任意x₁，x₂∈[0，1]，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≥f（x₂）；
②f（0）=0；
③$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}$f（x）；
④f（1-x）+f（x）=-1，
由②④得：f（1）=-1，
由③得：f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=-$\frac{1}{2}$，
令④中x=$\frac{1}{2}$，则f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
由①得：在[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）=-$\frac{1}{2}$．
f（$\frac{9}{2017}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{27}{2017}$）=$\frac{1}{4}$f（$\frac{81}{2017}$）=$\frac{1}{8}$f（$\frac{243}{2017}$）=$\frac{1}{16}$f（$\frac{729}{2017}$）=-$\frac{1}{32}$
故f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{9}{2017}$）≤-$\frac{17}{32}$；
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数的值，其中分析出在[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）=-$\frac{1}{2}$恒成立，是解答的关键．