Question

20．若椭圆中心在原点，焦点在x轴上，直线y=x+1交椭圆于P、Q两点，|PQ|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$且以PQ为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

Answer 1

分析 先设椭圆方程的标准形式，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，可得到两点坐标的关系式，然后再由两根之和、两根之积的关系式联立可求a，b的值，从而可确定椭圆方程．

解答 解：设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1①}\\{y=x+1②}\end{array}\right.$，
将②式代入①式，整理得
（a²+b²）x²+2a²x+a²（1-b²）=0，③
设方程③的两个根分别为x₁，x₂，
那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x₁，x₁+1），Q（x₂，x₂+1）．
由题设OP⊥OQ，|PQ|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}}•\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}}=-1}\\{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+[（{x}_{2}+1）-（{x}_{1}+1）]^{2}=（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{x}_{1}{x}_{2}+1=0}\\{4（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-16{x}_{1}{x}_{2}-5=0}\end{array}\right.$，
解这个方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{4}}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
根据根与系数的关系，由③式得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{3}{2}}\\{\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$（Ⅰ）或（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{{b}^{2}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\frac{2}{3}}\\{{b}^{2}=2}\end{array}\right.$，（舍去）．
故所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{3}}$=1．

点评 本题主要考查直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出两根之和、两根之积，再由题中条件可解题．