Question

12．已知函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与x轴相切于点（3，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，命题p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1为假命题，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）若h（x）+f（x）=x³-7x²+9x+clnx（c是与x无关的负数），判断函数h（x）有几个不同的零点，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=3x²+2ax+b，由于函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与x轴相切于点（3，0）．可得f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，联立解得a，b．即可得出．
（II）命题p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1为假命题，等价于：命题：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1为真命题．由g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，可得g（x）=-x³+3cx．由命题：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1为真命题，可得|g（1）-g（-1）|≤1，解得c范围．又g′（x）=-3x²+3c=-3$（x+\sqrt{c}）$$（x-\sqrt{c}）$．利用单调性与奇偶性，只需|g（$\sqrt{c}$）-g（-$\sqrt{c}$）|≤1，解得c，进而得出c的取值范围．
（III）h（x）+f（x）=x³-7x²+9x+clnx（c是与x无关的负数），h（x）=clnx-x²，（x＞0）．h′（x）=$\frac{c}{x}$-2x＜0，因此函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）至多有一个零点．再利用函数零点判定定理即可判断出是否有零点．

解答 解：（I）f′（x）=3x²+2ax+b，∵函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与x轴相切于点（3，0）．
∴f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，联立解得：a=-6，b=9．
∴f（x）=x³-6x²+9x．
（II）命题p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1为假命题，等价于：命题：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1为真命题．∵g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，∴g（x）=-x³+3cx．
由命题：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1为真命题，可得|g（1）-g（-1）|≤1，解得：$\frac{1}{6}≤c≤\frac{1}{2}$．
又g′（x）=-3x²+3c=-3$（x+\sqrt{c}）$$（x-\sqrt{c}）$．可得：函数g（x）在$[-1，-\sqrt{c}）$，$（\sqrt{c}，1]$内为减函数，在$[-\sqrt{c}，\sqrt{c}]$内为增函数．
∵函数g（x）为奇函数，且|g（1）-g（-1）|≤1，∴只需|g（$\sqrt{c}$）-g（-$\sqrt{c}$）|≤1，则：4c$\sqrt{c}$≤1，解得c≤$\frac{\root{3}{4}}{4}$．
综上可得：c的取值范围是$\frac{1}{6}$≤c≤$\frac{\root{3}{4}}{4}$．
（III）h（x）+f（x）=x³-7x²+9x+clnx（c是与x无关的负数），∴h（x）=clnx-x²，（x＞0）．
h′（x）=$\frac{c}{x}$-2x＜0，因此函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）至多有一个零点．
∵c＜0，∴（c-1）²＞1，0＜${e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}$＜1，∴$h（{e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}）$=（c-1）²-${e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}$•${e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}$＞0，h（1）=-1＜0．
∴函数h（x）在$（{e}^{\frac{（c-1）^{2}}{c}}，1）$内有一个零点，因此函数h（x）在（0，+∞）上恰有一个零点．

点评 本题考查了利用对数研究函数的单调性极值与最值与切线方程、等价转化问题、函数零点问题，考查了楼梯那里与计算能力，属于难题．