【题目】设,
是椭圆
上的两点,椭圆的离心率为
,短轴长为2,已知向量
,
,且
,
为坐标原点.
(1)若直线过椭圆的焦点
,(
为半焦距),求直线
的斜率
的值;
(2)试问: 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据条件可得,再设直线
的方程为:
,与椭圆联立方程组,利用韦达定理和已知条件
,即可求出
的值;(2)先考虑直线
斜率不存在的情况,即
,
,根据
,求得
和
的关系式,代入椭圆的方程求得
点的横坐标和纵坐标的绝对值,进而求得△AOB的面积的值;当直线
斜率存在时,设出直线
的方程,与椭圆联立方程组,利用韦达定理表示出
和
,再利用
,弦长公式及三角形面积公式求得答案.
试题解析:(1)由题可得: ,
,所以,椭圆的方程为
设的方程为:
,代入
得:
∴,
,
∵,∴
,即:
即,解得:
(2)①直线斜率不存在时,即
,
∵
∴,即
又∵点在椭圆上
∴,即
∴,
∴,故
的面积为定值1
②当直线斜率存在时,设
的方程为
,
联立得:
∴,
,
∴
所以三角形的面积为定值1.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0 时,有 .
(1)求证:f(x)在[﹣1,1]上为增函数;
(2)求不等式 的解集;
(3)若 对所有
恒成立,求实数t的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列3个命题:
(1)函数f(x)在x>0时是增函数,x<0也是增函数,所以f(x)是增函数;
(2)若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点,则b2﹣8a<0且a>0;
(3)y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1,+∞).
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:
观察图形,回答下列问题:
(1)估计这次环保知识竞赛成绩的中位数;
(2)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率?
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