【题目】已知函数 .
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[2,+∞)上的单调性,并证明.
【答案】
(1)解:∵f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
且 ,
∴f(x)是奇函数
(2)解:f(x)在[2,+∞)单调递增,证明如下:
证法一:
设2≤x1<x2,
∴ ,
∵x2>x1,且x1x2>4,
∴
∴f(x1)<f(x2),
即证f(x)在(2,+∞)上单调递增
证法二:
∵ ,
当x∈[2,+∞)时,f′(x)>0恒成立,
即f(x)在(2,+∞)上单调递增
【解析】(1)由 ,可得f(x)是奇函数;(2)f(x)在[2,+∞)单调递增,证法一:作差,利用单调性的定义可证明;证法二:求导,可证明.
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识,掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性,以及对利用导数研究函数的单调性的理解,了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
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【题目】已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程.
(2)求函数f(x)的单调增区间.
(3)求函数y=f(x)在区间 上的最小值,并求使y=f(x)取得最小值时的x的值.
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【题目】设,
是椭圆
上的两点,椭圆的离心率为
,短轴长为2,已知向量
,
,且
,
为坐标原点.
(1)若直线过椭圆的焦点
,(
为半焦距),求直线
的斜率
的值;
(2)试问: 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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【题目】某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.
(1)随机选取1件产品,求能够通过检测的概率;
(2)随机选取3件产品,其中一等品的件数记为,求
的分布列及数学期望..
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【题目】已知命题p:x∈A,且A={x|a﹣1<x<a+1},命题q:x∈B,且B={x|x2﹣4x+3≥0} (Ⅰ)若A∩B=,A∪B=R,求实数a的值;
(Ⅱ)若p是q的充分条件,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)且当x>1时,f(x)>0.
(1)判断函数f(x)在其定义域(0,+∞)上的单调性并证明;
(2)解不等式f(x)+f(x﹣2)≤3.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.
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