Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO

而EO平面EDB且PA平面EDB，

所以，PA∥平面EDB

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．

证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．

依题意得 ．

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为 且 ．

∴ ，这表明PA∥EG．

而EG平面EDB且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB

（2）解：方法一,证明：

∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC．①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．

而DE平面PDC，∴BC⊥DE．②

由①和②推得DE⊥平面PBC．

而PB平面PBC，∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD

方法二：证明；依题意得B（a，a，0）， ．

又 ，故 ．

∴PB⊥DE．

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD

（3）解：方法一：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．

由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．

设正方形ABCD的边长为a，

则 ， ．

在Rt△PDB中， ．

在Rt△EFD中， ，∴ ．

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为

方法二：解：设点F的坐标为（x0，y0，z0）， ，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）．

从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以 ．

由条件EF⊥PB知， ，即 ，解得

∴点F的坐标为 ，且 ，

∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．

∵ ，且 ， ，

∴ ．

∴ ．

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为 ．

【解析】法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；（3）必须说明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，然后求二面角C﹣PB﹣D的大小．法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出 ，即可证明PA∥平面EDB；（2）证明EF⊥PB， ，即可证明PB⊥平面EFD；（3）求出 ，利用 ，求二面角C﹣PB﹣D的大小．