【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的最大值;
(2)若,且对任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)0;(2) .
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到函数的单调区间,求出函数的最大值即可;
(2)令(x)=f(x)+1,根据函数的单调性分别求出φ(x)的最小值和g(x)的最大值,得到关于m的不等式,解出即可.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
当时,
,
∴当时,
,函数
在
上单调递增,
∴当时,
,函数
在
上单调递减,
∴.
(2)令,因为“对任意的
,
恒成立”,
所以对任意的,
成立,由于
,
当时,对
有
,从而函数
在
上单调递增,
所以,
,
当时,
,
时,
,显然不满足
,
当时,令
得
,
,
①当,即
时,在
上
,所以
在
上单调递增,所以
,只需
,得
,所以
.
②当,即
时,在
上
,
单调递增,在
上
,
单调递减,所以
,只需
,得
,所以
.
③当,即
时,显然在
上
,
单调递增,所以
,
不成立.
综上所述, 的取值范围是
.
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【题目】已知f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],其中e是自然常数,a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(3)证明:(1﹣ )(
)(
﹣
)…(
﹣
)<e3(3﹣n) .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周,最低点距地面2米,最高点距地面18米,P是摩天轮轮周上一定点,从P在最低点时开始计时,则14分钟后P点距地面的高度是米.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某正弦交流电的电压v(单位V)随时间t(单位:s)变化的函数关系是v=120 sin(100πt﹣
),t∈[0,+∞).
(1)求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅;
(2)若加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光,求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间?( 取 ≈1.4)
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【题目】为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘成折线图如下:
(I)已知该校有名学生,试估计全校学生中,每天学习不足
小时的人数.
(II)若从学习时间不少于小时的学生中选取
人,设选到的男生人数为
,求随机变量
的分布列.
(III)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差
的大小.(只需写出结论).
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【题目】设,
是椭圆
上的两点,椭圆的离心率为
,短轴长为2,已知向量
,
,且
,
为坐标原点.
(1)若直线过椭圆的焦点
,(
为半焦距),求直线
的斜率
的值;
(2)试问: 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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