【题目】已知a,b∈R+ , m,n∈N* . (Ⅰ)求证:(an+bn)(am+bm)≤2(am+n+bm+n);
(Ⅱ)求证:
≤
.
【答案】证明:(Ⅰ)2(am+n+bm+n)﹣(an+bn)(am+bm)=am+n+bm+n﹣anbm﹣anbm=am(an﹣bn)+bm(bn﹣an)=(am﹣bm)(an﹣bn);
①若a≥b>0则,am≥bm>0,an≥bn>0,可得(am﹣bm)(an﹣bn)≥0;
②若0<a<b,则0<am<bm , 0<an<bn , 可得(am﹣bm)(an﹣bn)>0;
综上所述总有(am﹣bm)(an﹣bn)≥0
故(an+bn)(am+bm)≤2(am+n+bm+n).
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得(a+b)(a2+b2)≤2(a3+b3),
即有(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≤2(a3+b3)(a3+b3)≤4(a6+b6)
则有
≤
【解析】(Ⅰ)作差可得2(am+n+bm+n)﹣(an+bn)(am+bm),展开运用因式分解,推理a,b的大小,即可得证;(Ⅱ)分别令n=1,m=2,以及m=n=3,运用(Ⅰ)的结论,即可得证.
【考点精析】解答此题的关键在于理解不等式的证明的相关知识,掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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【题目】已知F1 , F2分别是双曲线 =1(a>0,b>0)的左,右焦点,点F1关于渐近线的对称点恰好在以F2为圆心,|OF2|(O为坐标原点)为半径的圆上,则该双曲线的离心率为 .
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【题目】已知函数f(x)在其定义区间[a,b]上满足①f(x)>0;②f′(x)<0;③对任意的x1 , x2∈[a,b],式子 ≤
恒成立.记S1=
f(x)dx,S2=
(b﹣a),S3=f(b)(b﹣a),则S1 , S2 , S3的大小关系为 . (按由小到大的顺序)
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【题目】已知函数 .任取t∈R,若函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)﹣m(t).
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)当t∈[﹣2,0]时,求函数g(t)的解析式;
(3)设函数h(x)=2|x﹣k|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,其中实数k为参数,且满足关于t的不等式 有解,若对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,求实数k的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=alnx﹣x2+1.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0,求实数a和b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
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【题目】已知函数f(x)=Acos( +
),x∈R,且f(
)=
.
(1)求A的值;
(2)设α,β∈[0, ],f(4α+
π)=﹣
,f(4β﹣
π)=
,求cos(α+β)的值.
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