Question

【题目】已知函数f（x）=alnx﹣x2+1.

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0，求实数a和b的值；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；

Answer 1

【答案】(Ⅰ)a=6，b=﹣4.(Ⅱ)答案见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得a=6，b=﹣4.

(2)首先求解导函数，然后对参数a分类讨论可得：

当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，f（x）在上是增函数，在上是减函数.

试题解析：

（Ⅰ）f（x）=alnx﹣x2+1求导得

在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0，f′（1）=a﹣2=4，得a=6，4﹣f（1）+b=0；b=﹣4.

（Ⅱ）

当a≤0时，f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，（舍负），f（x）在上是增函数，在上是减函数.