Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（与坐标轴 不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为 ，求直线倾斜角的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】（1）设椭圆方程为 .焦点为(0, )， ，所以a=3,c= ，所以b=1.故所求椭圆方程为 ..

（2）

【解答】设直线的方程为y=kx+b，代入椭圆方程 整理得（k2+9)x2+2kb+b2-9=0,设A(x1,y1)B(x2,y2) ,且线段AB中点的横坐标为 ，由题意得 解得或 .

又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是 .

【解析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，（Ⅱ）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得范围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．