Question

【题目】已知函数f（x）在其定义区间[a，b]上满足①f（x）＞0；②f′（x）＜0；③对任意的x1 ， x2∈[a，b]，式子 ≤ 恒成立．记S1= f（x）dx，S2= （b﹣a），S3=f（b）（b﹣a），则S1 ， S2 ， S3的大小关系为 ． （按由小到大的顺序）

Answer 1

【答案】s3＜s1≤s2
【解析】解：由微积分中值定理：可知若函数 f（x） 在 闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点 ξ， 使得： f（x）dx=f（ξ）（b﹣a），a≤ξ≤b，
∵f′（x）＜0，f（x）在定义区间[a，b]单调递减，f（b）＜f（ξ），
∴s3＜S1 ，
对任意的x1 ， x2∈[a，b]，式子 ≤ 恒成立，
函数图象可知：当 = 时，
由定积分的几何意义可知，S1= f（x）dx= （b﹣a）=S2 ，
当 ＜ ，
由函数图象可知：函数单调递减且为凹函数，根据定积分的几何意义可知：
S1= f（x）dx＜ （b﹣a）=S2 ，
∴s1≤s2 ．
综上可知：s3＜s1≤s2 ．
所以答案是：s3＜s1≤s2 ．
【考点精析】关于本题考查的定积分的概念，需要了解定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限才能得出正确答案．