Question

【题目】已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且x轴，y轴被圆C截得的弦长分别为2 ，4 ，若圆心C位于第四象限
（1）求圆C的方程；
（2）设x轴被圆C截得的弦AB的中心为N，动点P在圆C内且P的坐标满足关系式（x﹣1）2﹣y2= ，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，

根据题意，有

①﹣②得b2=a2+3，…④

由③④得4a2﹣3a﹣1=0，∵a＞0，解得a=1，b=1﹣3a=﹣2，r2=9，

∴圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=9，

（2）解：在圆C的方程：（x﹣1）2+（y+2）2=9中令y=0，

得A（1﹣ ，0），B（1+ ），∴N（1，0）．

∵动点P（x，y）在圆C内，∴（x﹣1）2+（y+2）2＜9…①

将①代入（x﹣1）2﹣y2= 得﹣ ，0

=（1﹣ ﹣x，﹣y）（1+ ﹣x，﹣y）=（x﹣1）2+y2﹣5…②

将（x﹣1）2﹣y2= 代入②得 =2y2﹣ ．

【解析】（1）设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 根据题意，有
由①②③得a=1，b=1﹣3a=﹣2，r2=9，即可得圆的方程；（2）在圆C的方程：（x﹣1）2+（y+2）2=9中令y=0，得A（1﹣ ，0），B（1+ ），N（1，0）．
将x﹣1）2+（y+2）2＜9．（x﹣1）2﹣y2= 代入 =（1﹣ ﹣x，﹣y）（1+ ﹣x，﹣y）=（x﹣1）2+y2﹣5即可求解．