【题目】已知函数,函数
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若不等式在
上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若,求证不等式
.
【答案】(1) g(x)的增区间,减区间
;(2)
;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据导数的正负情况研究函数的单调性;(2)恒成立求参转化为
恒成立,求到研究函数单调性和最值;(3)转化为
在
上恒成立。通过求导研究函数单调性,求得函数最值。
(Ⅰ)g(x)的定义域为 ,
,
当
时,
在
上恒成立
所以g(x)的增区间,无减区间当
时,令
得
令得
所以g(x)的增区间
,减区间
.
(Ⅱ) 即
在
上恒成立
设,考虑到
,在
上为增函数,
,
当
时,
,
在
上为增函数,
恒成立
当时,
,
在
上为增函数
,在
上,
,
递减,
,这时不合题意, 综上所述,
(Ⅲ)要证明在上,
只需证明 ,由(Ⅱ)当a =0时,在
上,
恒成立, 再令
, 在
上,
,
递增,所以
即
,相加,得
,所以原不等式成立.
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【题目】设f(x)=|x﹣3|+|x﹣4|. (Ⅰ)解不等式f(x)≤2;
(Ⅱ)若对任意实数x∈[5,9],f(x)≤ax﹣1恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=3sin(ωx+) 的部分图象如图所示,A,B两点之间的距离为10,且f(2)=0,若将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)的单位长度后所得函数图象关于y轴对称,则t的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上,且x轴,y轴被圆C截得的弦长分别为2 ,4
,若圆心C位于第四象限
(1)求圆C的方程;
(2)设x轴被圆C截得的弦AB的中心为N,动点P在圆C内且P的坐标满足关系式(x﹣1)2﹣y2= ,求
的取值范围.
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【题目】已知函数y=f(x),若在定义域内存在x0 , 使得f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,则称x0为函数f(x)的局部对称点.
(1)若a∈R,a≠0,证明:函数f(x)=ax2+x﹣a必有局部对称点;
(2)若函数f(x)=2x+b在区间[﹣1,1]内有局部对称点,求实数b的取值范围;
(3)若函数f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.
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【题目】已知椭圆E: 经过点P(2,1),且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,在椭圆短轴上有两点M,N满足,直线PM、PN分别交椭圆于A,B.探求直线AB是否过定点,如果经过定点请求出定点的坐标,如果不经过定点,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2ax+3在(﹣∞,1]上是减函数,当x∈[a+1,1]时,f(x)的最大值与最小值之差为g(a),则g(a)的最小值是 .
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【题目】函数f(x)=2sin(2x+ ),g(x)=mcos(2x﹣
)﹣2m+3(m>0),若对任意x1∈[0,
],存在x2∈[0,
],使得g(x1)=f(x2)成立,则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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