Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2ax+3在（﹣∞，1]上是减函数，当x∈[a+1，1]时，f（x）的最大值与最小值之差为g（a），则g（a）的最小值是 ．

Answer 1

【答案】1
【解析】解：解：∵f（x）在（﹣∞，1]上是减函数， ∴﹣a≥1，即a≤﹣1．
∴f（x）在[a+1，1]上的最大值为f（a+1）=3a2+4a+4，
最小值为f（1）=4+2a，
∴g（a）=3a2+2a=3（a+ ）2﹣ ，
∴g（a）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，
∴g（a）的最小值为g（﹣1）=1．
所以答案是：1．
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义和二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减即可以解答此题．